TD 2 exercice 2

Une décharge soudaine d'un condensateur dans un dispositif électrique occasionne une dissipation d'énergie variant au cours du temps, de la forme :

\(\varphi(t)=\varphi_0 e^{\displaystyle -\beta t}\)\(\varphi(t)\) désigne le flux instantané.

avec \(\varphi_0 = 8,8\ W\) et \(\beta = 9,72.10^{-3} s^{-1}\)

La température initiale du dispositif est la même que la température ambiante à savoir : \(T_i = 26 °C\).

On s'intéresse à l'évolution de la température du dispositif consécutive à la décharge, en assimilant le montage à un système thermiquement mince (donc sans gradient de température).

Les caractéristiques numériques sont les suivantes :

\(m = 0,036\ kg\ \ \ \ \ \ \ \ k = 20,8 W.m^{-1}K^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ C_p = 963\ J.kg^{-1}.K^{-1}\)

\(V = 8,5.10^{-4} m^3\ \ \ \ \ \ \ \ S = 5,57.10^{-3} m^2\ \ \ \ \ \ \ \ h = 6,13\ Wm^{-2}K^{-1}\)

\(S\) désignant l'aire du dispositif en contact du milieu ambiant, \(V\) le volume du dispositif.

Question

1. Vérifier à partir des données précédentes, que l'hypothèse des corps minces est bien justifiée.

Indice

\(\varphi(t)=\varphi_0e^{-\beta t},\ \ \ \varphi_0=8,8W,\ \ \ \beta = 9,72.10^{-3}s^{-1},\ \ \ T(t=0)=T_i=26°C\)

Indice

\(\displaystyle Bi=\frac{hL}{k}\) avec \(L=\frac VS=1,526.10^{-1}\ m\)

Solution

\(Bi=4,5.10^{-2}<0,1\)

Question

2. Etablir la solution du problème, T(t), après avoir introduit les notations : \(\theta(t) = T(t) – T_i\) et \(\gamma=\frac{hS}{m c_p}\).

Indice

\(mcdT=\varphi(t)dt+hS(T_i-T)dt\)

Indice

\(\displaystyle\frac{d T}{d t}=\frac{hS}{m c}\left(T_{i}-T\right)+\frac{\varphi_{0}}{m c} e^{-\beta t}\)

Indice

\(\theta(t)=T(t)-T_{i} \quad \quad d \theta=d T\)

\(\displaystyle \frac{d \theta}{d t}+\gamma \theta=\frac{\varphi_{0}}{m c} e^{-\beta t}\)

Indice

\(\displaystyle\frac{d \theta}{d t}+\gamma \theta=0 \quad \Rightarrow \quad \theta=K e^{\displaystyle-\gamma t}\)

Solution particulière de l'équation complète

\(\theta=Ae^{-\beta t}\)

\(-A\beta e^{-\beta t}+\gamma Ae^{-\beta t} = \displaystyle\frac{\varphi_0}{mc}e^{-\beta t}\)

Indice

\(A(\gamma -\beta)=\displaystyle\frac{\varphi_0}{mc}\)

\(A=\frac{\varphi_0}{mc}\displaystyle\frac{1}{\gamma-\beta}\)

Indice

\(\displaystyle\theta=\frac{\varphi_0}{mc}\frac{1}{\gamma-\beta}e^{-\beta t}\)

Indice

\(\displaystyle\theta(t)=Ke^{-\gamma t}+\frac{\varphi_0}{mc}\frac{1}{\gamma-\beta}e^{-\beta t}\)

Indice

à \(t=0, \quad\quad \theta (t=0)=T(t=0)-T_i=0\)

Indice

\(\theta(0)=0=\displaystyle K+\frac{\varphi_0}{mc}\frac{1}{\gamma-\beta}\Rightarrow K=-\frac{\varphi_0}{mc}\left(\frac{1}{\gamma-\beta}\right)\)

Solution

\(\displaystyle\theta(t)=-\frac{\varphi_0}{mc}\left(\frac{1}{\gamma-\beta}\right)\left[ e^{-\gamma t}-e^{-\beta t }\right]\)

\(\displaystyle T(t)=T_i-\frac{\varphi_0}{mc}\left(\frac{1}{\gamma-\beta}\right)\left[ e^{-\gamma t}-e^{-\beta t }\right]\)

Question

3. En déduire la température du dispositif \(6\ min\) après la décharge.

Indice

\(t=6\times60=360\ s\quad\quad \gamma=\frac{hS}{mc}=9,8488.10^{-4}\)

Indice

\(T=26-\displaystyle\frac{8,8}{0,036\times 963}\left( \frac{1}{9,8488.10^{-4}-9,72.10^{-3}}\right)\left(e^{-9,8488^{-4}\times 360}-e^{-9,72.10^{-3}\times 360} \right)\)

Solution

\(T=45,5°C\)