TD 3 exercice 1
TD 3 exercice 1
On considère un mur plan d'épaisseur \(2L\) maintenu initialement à une température uniforme \(T_i\). On suppose qu'à l'instant \(t=0\), ses faces limites sont portées à une température \(T_S\) différente de \(T_i\) conservée constante durant la totalité du procédé de transfert (réchauffement ou refroidissement).
Le champ thermique dans le mur est monodimensionnel suivant l'axe \(x\) (voir schéma). On souhaite connaître la distribution des températures dans le mur en fonction du temps, soit \(T(x,t)\). On notera \(\alpha\) la diffusivité thermique du mur.
Question
1 - Formuler analytiquement ce problème en choisissant judicieusement l'origine de l'axe \(x\).
Indice
On prend l'origine au milieu du mur.
Indice
\(\begin{array}{l}\Delta T-\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}=0=\frac{\partial^{2 T}}{\partial x^{2}}-\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t} \\ C_I\quad T(x, t=0)=T_{i} \\c_{L} \quad T(x=L, t)=T_{s} \end{array}\)
\(\left(\frac{\partial T}{\partial x} \right)_{x=0}=0\) condition de symétrie
Question
2 - Résoudre le système d'équations en utilisant la méthode de la transformée de Laplace.
Sachant que les transformées de Laplace inverses des fonctions \(\frac 1 P\) et \(\frac{ch\left(x\sqrt{P} \right)}{p ch\left(a\sqrt{P} \right)}\) sont respectivement :
\(\displaystyle L^{-1}\left\{ \frac 1 P \right\}=1\)
et
\(\displaystyle L^{-1}\left\{ \frac{ch\left(x\sqrt{P} \right)}{p ch\left(a\sqrt{P} \right)} \right\}=1+\frac 4 \pi \sum^{+\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{2n-1}\exp\left[-\frac{(2n-1)^2\pi^2t}{4a^2} \right] \cos\left[\frac{(2n-1)\pi x}{2a} \right]\)
Montrer que la loi de distribution \(T(x,t)\) est donnée par :
\(\frac{\mathrm{T}(\mathrm{x}, \mathrm{t})-\mathrm{T}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{s}}-\mathrm{T}_{\mathrm{i}}}=1+\frac{4}{\pi} \sum_{\mathrm{n}=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{\mathrm{n}}}{2 \mathrm{n}-1} \exp \left[-\frac{(2 \mathrm{n}-1)^{2} \pi^{2} \alpha \mathrm{t}}{4 \mathrm{~L}^{2}}\right] \cos \left[\frac{(2 \mathrm{n}-1) \pi \mathrm{x}}{2 \mathrm{~L}}\right]\)
Indice
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} e^{-P t} d t=\frac{1}{\alpha} \int_{0}^{+\infty} \frac{\partial T}{\partial t} e^{-P t} d t\)
Indice
\(\frac{d^2 \bar T}{d x^{2}}=\displaystyle \frac{1}{\alpha}\left\{\left[T e^{-P t}\right]_{0}^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty} -P e^{-P t}T d t\right\}\)
\(=\displaystyle \frac 1 \alpha \left(-T(x,0)+P\bar T\right)\)
Indice
\(\displaystyle \frac{d^{2} \bar{T}}{d x^{2}}-\frac{P}{\alpha} \bar{T}=-\frac{T_{i}}{\alpha}\)
\(\displaystyle \bar{T}=A e^{+\sqrt{\frac{P}{\alpha}} x}+B e^{-\sqrt{\frac{P}{\alpha}} x}+\frac{T_{i}}{P}\)
Indice
CL \(\left(\frac{\partial T}{\partial x} \right)_{x=0}=0\) devient
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left(\frac{\partial T}{\partial x}\right)_{x=0} e^{-P t} d t=\left[\frac{\partial}{\partial x} \int_{0}^{+\infty} T e^{-P t} d t\right]_{x=0}=\left(\frac{\partial \bar T}{\partial x}\right)_{x=0}=0\)
Indice
\(\begin{aligned}\left(\frac{\partial \bar T}{\partial x}\right)_{x =0} &=A \sqrt{\frac{P}{\alpha}} e^{\sqrt{\frac{P}{\alpha}} x}+B\left(-\sqrt{\frac{P}{\alpha}}\right) e^{-\sqrt{\frac{P}{\alpha}} x} \\&=\sqrt{\frac{P}{\alpha}}(A-B)=0\end{aligned}\)
donc \(A=B\)
Indice
\(\begin{array}{l}\bar T=A\left(e^{\sqrt{\frac{P}{\alpha} x}}+e^{-\sqrt{\frac{P}{\alpha}} x}\right)+\frac{T_{i}}{P} \\\bar{T}=2 A \operatorname{ch}\left(\sqrt{\frac{P}{\alpha}} x\right)+\frac{T_{i}}{P}\end{array}\)
Indice
CL \(T(x=L, t)=T_{s}\)
\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} T(x=l, t) e^{-P {t}} d t=T_{s} \int_{0}^{+\infty} e^{-P t} d t=T_{s}\left[-\frac{1}{P} e^{-P t}\right]_{0}^{+\infty}=\frac{T_s}{P}\)
Indice
\(\begin{aligned}\bar{T}(x=L) &=2 A \operatorname{ch} \left(\sqrt{\frac{P}{\alpha}} L\right)+\frac{T_{i}}{P}=\frac{T_{S}}{P} \\A &=\frac{T_{S}-T_{i}}{2 P \operatorname{ch}\left(\sqrt{\frac{P}{\alpha}} L\right)} \end{aligned}\)
Indice
\(\bar{T}(x)=\displaystyle\frac{T_{s}-T_{i}}{P\operatorname{ch}\left(\sqrt{\frac{P}{\alpha}}L\right)} c h\left(\sqrt{\frac{P}{\alpha}} x\right)+\frac{T_{i}}{P}\)
Indice
\(\displaystyle T(x, t)=(T_{s}-T_{i}) \times L^{-1}\left\{\frac{c h\left(\sqrt{\frac{P}{\alpha}} x\right)}{P \operatorname{ch}\left(\sqrt{\frac{P}{\alpha}} L\right)}\right\}+T_{i} \underbrace{L^{-1}\left\{\frac{1}{p}\right\}}_{=1}\)
Indice
\(\displaystyle L^{-1}\left\{\frac{\operatorname{ch} \left(\sqrt{P} \frac{x}{\sqrt{\alpha}}\right)}{P \operatorname{ch}\left(\sqrt{P} \frac{L}{\sqrt{\alpha}}\right)}\right\}=L^{-1}\left\{\frac{\operatorname{ch}\left(\sqrt{P} X\right)}{P\operatorname{ch}\left(\sqrt{P}a\right)}\right\} \text { avec } X=\frac{x}{\sqrt{\alpha}} \text { et } a=\frac{L}{\sqrt{\alpha}}\)
Solution
\(\displaystyle \frac{T(x, t)-T_{i}}{T_{s}-T_{i}}=1+\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n-1} \exp \left[-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2} t \alpha}{4 L^{2}}\right] \cos \left[\frac{(2 n-1) \pi x}{2 L}\right]\)
Question
3 - Déterminer le flux instantané de chaleur cédé (si \(T_S < T_i\)) ou capté (si \(T_S > T_i\)) par le mur.
Indice
\(\Phi (t) = 2\Phi(L)\)
\(\Phi(L)=kS\left(\displaystyle \frac{\partial T}{\partial x}\right)_{x=L}\)
Indice
\(\displaystyle \frac{d T}{d x}=\left(T_{S}-T_{i}\right) \times \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n-1)} \exp \left[-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2} t \alpha}{4 L^{2}}\right]\left(-\frac{(2 n-1) \pi}{2 L}\right) \sin \left(\frac{(2 n-1) \pi x}{2 L}\right)\)
Indice
\( \displaystyle \frac{d T}{d x}=- 2\left(T_S-T_i\right)\displaystyle \times \frac{1}{L} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \exp \left[-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2} t \alpha}{4L^2}\right] \sin \left(\frac{(2 n-1) \pi x}{2 L}\right)\)
Indice
\(\Phi(L)=2kS\displaystyle\left(T_{s}-T_{i}\right) \frac{1}{L} \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \exp \left[-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2} t \alpha}{4 L^{2}}\right] \underbrace{\sin \left[\frac{(2 n-1) \pi}{2}\right]}_{(-1)^{n+1}}\)
Solution
\(\Phi(t)=\frac{4 kS}{L}\displaystyle\left(T_{s}-T_{i}\right) \sum_{n=1}^{+\infty} \exp \left[-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2} t \alpha}{4 L^{2}}\right]\)
Question
4 - Déterminer la quantité de chaleur totale \(Q\) transférée au bout d'un temps \(t_0\). On mettra le résultat sous la forme :
\(\mathrm{Q}=\mathrm{K} \sum_{\mathrm{n}-1}^{+\infty} \frac{1}{(2 \mathrm{n}-1)^{2}}\left\{1-\exp \left[-\frac{(2 \mathrm{n}-1)^{2} \pi^{2} \alpha \mathrm{t}_{0}}{4 \mathrm{~L}^{2}}\right]\right\}\)
avec \(K\) une constante à préciser.
Indice
\(\displaystyle Q=\int_{0}^{t_{0}} \Phi(t) d t\)
Indice
\(Q=\displaystyle \frac{4 kS}{L}\left(T_{s}-T_{i}\right) \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \int_{0}^{t_{0}} \exp \left[-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2} t \alpha}{4 L^{2}}\right] d t\)
Indice
\(\displaystyle \int ... = \frac{-4 L^{2}}{(2 n-1)^{2} \pi^{2} \alpha}\left[\exp \left(-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2} t \alpha}{4 L^{2}}\right)\right]_{0}^{t_{0}}\)
Solution
\(\displaystyle Q=\underbrace{-16kS \frac{L}{\pi^{2} \alpha}\left(T_{s}-T_{i}\right)}_{K} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}\left[1-\exp \left(-\frac{(2 n-1)^{2} \pi^{2} t_{0} \alpha}{4 L^{2}}\right)\right]\)