TD2 exercice 1
Dans un élément matériel, très bon conducteur thermique, se produit soudainement une génération de chaleur, uniforme, de densité volumique \(\dot q\). A partir de cet instant, pris comme origine des temps, le matériau va perdre par convection une partie de l'énergie créée au profit de l'environnement.
Question
1. Si on désigne par :
\(S\), la surface délimitant l'élément matériel
\(V\), le volume de l'élément
\(T_\infty\), la température ambiante (représentant aussi la température initiale du corps)
\(\rho\), la masse volumique du matériau
\(c\), sa chaleur spécifique
\(h\), le coefficient d'échange convectif
\(T\), la température de l'élément
t, le temps
Montrer que l'équation différentielle caractéristique du régime variable dans l'élément s'écrit :
\(\frac{dT}{dt}+\frac{hS}{\rho c V}(T-T_\infty)=\frac{\dot q}{\rho c}\)
à condition d'assimiler le corps à un système thermique mince (donc de température uniforme).
Indice
Système thermique mince
Indice
On se place entre 2 instants (\(t\) et \(t+dt\)) et on écrit que la variation d'énergie interne du corps est égale à la quantité de chaleur échangée par le corps durant cet intervalle de temps.
\(mcdT=\underbrace{\dot q V dt}_{\displaystyle >0 \text{ : chaleur reçue par l'élément}} + \underbrace{hS(T_\infty -T(t))dt}_{\displaystyle<0 \text{ : Chaleur cédée par l'élément au milieu ambiant}}\)
Indice
\(\rho c V dt=\dot q V dt + hS (T_\infty-T(t)) dt\)
\(\rho c V \frac{dT}{dt}=\dot q V dt + hS (T_\infty-T(t))\)
Solution
\(\frac{dT}{dt}+\frac{hS}{\rho c V}(T-T_\infty)=\frac{\dot q}{\rho c}\)
Question
2. En déduire que la loi \(T(t)\) obéit à :
\(T(t)-T_\infty=\frac{\dot q V}{hS}\left[ 1+e^{-Bi.Fo}\right]\)
avec ,\(Fo=\frac{\alpha t}{L^2}\) , \(L\) étant une longueur caractéristique de l'élément. \(\alpha\) est la diffusivité et \(k\) la conductivité.
Indice
\(\rho c V dt=\left(\dot q V + hS (T_\infty-T(t))\right) dt\)
\(\displaystyle\frac{\rho c V dT}{\dot qV + hS(T_\infty T)}=dt\)
Indice
\(\displaystyle \int_{T(t=0)}^{T} \frac{d T}{\dot{q} V+h S\left(T_{\infty}-T\right)}=\frac{1}{\rho cV} \cdot \int_{0}^{t} d t\)
Indice
\(\displaystyle-\frac{1}{h S}\left[\ln \left(\dot{q} V+h S\left(T_{\infty}-T\right)\right)\right]_{T=\infty}^{T}=\frac{t}{\rho c V}\)
Indice
\(\displaystyle\ln \left(\frac{\dot{q} V+h S\left(T_{\infty}-T\right)}{\dot{q} V}\right) =\frac{-h S}{\rho c V} t \)
\(\displaystyle 1+\frac{h S}{\dot{q} V}\left(T_{\infty}-T\right) =e^{-\frac{h S}{\rho c V}} t \)
\(\displaystyle T(t)-T_{\infty} =\frac{\dot{q} V}{h S}\left[1-e^{-\frac{h s}{\rho c V}\displaystyle t} \right]\)
Indice
\(Bi.Fo=\displaystyle\frac{hL}{k}\frac{\alpha t}{L^2}=\frac{hkt}{k\rho cL}=\frac{ht}{\rho cL}=\frac{hS}{\rho c V}t\)
Solution
\(T(t)-T_\infty=\displaystyle \frac{\dot q V}{hS}\left[ 1+e^{-Bi.Fo}\right]\)
Question
3. Vers quel nouvel état d'équilibre le système évolue-t-il ? Conclusion.
Indice
quand \(t\rightarrow \infty \displaystyle \Rightarrow e^{-\frac{hS}{\rho c V}\displaystyle t}\rightarrow 0\)
Indice
\(T(t)-T_\infty \rightarrow\displaystyle \frac{\dot q V}{hS}\)
\(T(t)\rightarrow T_\infty+\displaystyle\frac{\dot q V}{hS}=T_{lim}\)
Indice
\(hS[T_{lim}-T_\infty]=\dot q V\)
Solution
Le nouvel état d'équilibre s'instaurera lorsque la température du corps sera suffisamment élevée pour que la perte convective soit égale à l'apport des sources.
4. Application
Un fusible électrique a la forme d'un cylindre de diamètre \(0,1\ mm\) et de longueur \(0,5\ cm\). Il est entouré par de l'air à \(T_\infty = 30°C\), le coefficient d'échange convectif \(h\) valant \(10\ W m^{-2} K^{-1}\).
Ses propriétés thermiques et électriques sont : conductivité \(k = 20\ W m^{-1} K^{-1}\), diffusivité \(\alpha = 5.10^{-5} m^2 s^{-1}\), résistance électrique \(R = 0,2\ \Omega\).
La température de fusion du matériau conductif est \(900 °C\).
Question
Question
b) En négligeant les pertes par rayonnement et par conduction de la chaleur à travers les supports situés aux extrémités du fusible, déterminer l'intervalle de temps au bout duquel le fusible sera détruit par passage d'un courant constant de \(3\ A\) à travers lui.
Indice
Le fusible sera détruit quand \(T=T_F=900°C\)
Indice
\(T(t)-T_\infty=\displaystyle \frac{\dot q V}{hS}\left[ 1-e^{-\frac{hS}{\rho c V}\displaystyle t}\right]\)
Indice
\(\dot q=\)puissance dégagée par l'effet Joule/Volume
\(\dot q=\displaystyle \frac{RI^2}{V}\ \Rightarrow \ \ \dot q V= RI^2\)
Indice
\(\frac{h S}{\dot{q} V}\displaystyle \left(T-T_{\infty}\right)=1 - e^{-\frac{h S}{\rho c V}\displaystyle t}\)
Indice
\(e^{-\frac{h S}{\rho c V}\displaystyle t} =1-\frac{h S}{\dot{q} V}\left(T-T_{\infty}\right)\)
Indice
\(t=\displaystyle -\frac{\rho c V}{h S} \ln \left(1-\frac{h S}{\dot{q} V}\left(T-T_{\infty}\right)\right)\)
Indice
\(\alpha=\displaystyle \frac{k}{\rho c}\Rightarrow \rho c= \frac k \alpha = 4.10^{-5} J kg^{-3}K^{-1}\)
Solution
\(t=\displaystyle \frac{-4.10^{-5}}{10}2,5.10^{-5}ln\left(1-\frac{10\times \pi \times 0,1.10^{-3}\times 0,5.10^{-2}}{0,2\times 3^2}(900-30) \right)\)
\(t=0,0076\ s =7,6\ ms\)