TD 5 : Pertes de charge, Pompes

Exercice 1 :

Un pétrolier contient un hydrocarbure de masse volumique \(\rho = 0.86\ g\ cm^{-3}\) et de viscosité cinématique \(\nu = 0.05\ cm^2s^{-1}\). On désire transférer cet hydrocarbure dans un réservoir de stockage à l'aide d'une pompe dont la caractéristique est donnée dans le tableau ci dessous :

Débit (\(L/s\))

0

10

20

30

40

50

\(H_{mt}=E/g\) (m d'hydrocarbure)

46.5

45.3

43

40.7

36

31.4

boat

Données :

  • température de l'hydrocarbure : \(T=25\ °C\)

  • loi d'Antoine pour l'hydrocarbure (\(T\) en \(K\) et \(P\) en \(mm\ Hg\)) :

    \(\ln P=A-\frac{B}{T+C}\) avec \(\left\{\begin{array}{l}A=15.9008 \\ B=2788.51 \\ C=-52.36 \end{array}\right.\)

    avec \(\ln P=\) logarithme népérien de la pression,

    \(760\ mm\ Hg=1\ atm= 1.013\ 10^5\ Pa\)

Question

1) Construire à partir de ces points, la courbe caractéristique \(H_{mt}=E/g\) en fonction du débit volumique \(q_v\).

Solution

Caractéristique de la pompe

Question

2) Pour transférer l'hydrocarbure, on dispose d'un conduite de \(150\ m\) de longueur (\(5\ m\) à l'aspiration et \(145\ m\) au refoulement) présentant une dénivellation de \(25\ m\) entre ses deux extrémités. Les diamètres disponibles sont : \(100\), \(150\) et \(200\ mm\); la valeur moyenne de l'aspérité de la paroi est \(\varepsilon = 0.2\ mm\). en négligeant toutes les pertes de charge (singulières) autres que la perte de charge linéaire dans la conduite, tracer sur le graphique précédent, pour chacun des diamètres, les courbes \(E/g\) en fonction des débits volumiques.

On prendra les mêmes débits que ceux donnés pour caractériser la pompe. On supposera que la pression est la même en \(1\) et en \(2\) et que les vitesses des surfaces libres de l'hydrocarbure dans les réservoir sont négligeables.

Indice

\(H_1+\frac Eg = H_2+\Delta H_L\)

\(\frac Eg +\frac{P_1}{\rho g}+x_{3,1}+\frac{V_1^2}{2g}=\frac{P_2}{\rho g}+x_{3,2}+\frac{V_2^2}{2g}+f\frac{V^2}{2g} \frac LD\)

avec \(V=\frac{q_v}{S}=\frac{4q_v}{\pi D^2}\)

Indice

\(H_2-H_1+\Delta H_L=\frac Eg=h=x_{3,2}-x_{3,1}+\frac{f}{2g}L\frac{16q_v^2}{\pi^2D^5}\)

Indice

\(D = 0.1\ m\); \(S = 0.0079\ m^2\) et \(\frac \varepsilon D = 0.002\)

\(q_v\) \((L/s)\)

\(q_v\) \(m^3s^{-1}\)

\(V\ (ms^{-1})\)

\(\frac{V^2}{2g}\)

\(Re\)

\(f\)

\(\Delta H_L\ (m)\)

\(\frac Eg \ (m)\)

0

0

0.00

0.00

0

0

0.0

25.0

10

0.01

1.27

0.08

25000

0.0288

3.5

28.5

20

0.02

2.55

0.32

51000

0.0264

12.8

37.8

30

0.03

3.82

0.73

76000

0.0256

28.0

53.0

40

0.04

5.10

1.30

100000

0.0251

48.8

73.8

50

0.05

6.37

2.03

130000

0.0248

75.4

100.4

Indice

\(D = 0.15\ m\); \(S = 0.0177\ m^2\) et \(\frac \varepsilon D = 0.0013\)

\(q_v\) \((L/s)\)

\(q_v\) \(m^3s^{-1}\)

\(V\ (ms^{-1})\)

\(\frac{V^2}{2g}\)

\(Re\)

\(f\)

\(\Delta H_L\ (m)\)

\(\frac Eg \ (m)\)

0

0

0.00

0.0

0

0

0.0

25.0

10

0.01

0.57

0.016

17000

0.0294

0.5

25.5

20

0.02

1.13

0.064

34000

0.0262

1.7

26.7

30

0.03

1.70

0.144

51000

0.0248

3.7

28.7

40

0.04

2.26

0.256

68000

0.0241

6.4

31.4

50

0.05

2.83

0.400

85000

0.0243

9.7

34.7

Indice

\(D = 0.2\ m\); \(S = 0.0314\ m^2\) et \(\frac \varepsilon D = 0.001\)

\(q_v\) \((L/s)\)

\(q_v\) \(m^3s^{-1}\)

\(V\ (ms^{-1})\)

\(\frac{V^2}{2g}\)

\(Re\)

\(f\)

\(\Delta H_L\ (m)\)

\(\frac Eg \ (m)\)

0

0

0.00

0.00

0

0

0.0

25.0

10

0.01

0.32

0.0051

13000

0.0305

0.1

25.1

20

0.02

0.64

0.0203

25000

0.0268

0.4

25.4

30

0.03

0.96

0.0456

38000

0.0250

0.9

25.9

40

0.04

1.27

0.0811

51000

0.0239

1.5

26.5

50

0.05

1.59

0.1268

64000

0.0233

2.2

27.2

Solution

E/g

Question

3) Sachant que le débit souhaité est d'au moins \(100\) tonnes à l'heure, choisir le diamètre de conduite le plus convenable parmi les valeurs proposées.

Indice

\(q_v = \frac{\dot{m}}{\rho}=\frac{100\ 000}{3600\times860}1000=32.2\ Ls^{-1}\)

Solution

diamètre qui convient le mieux : \(D=0.15\ m\)

Question

4) Le rendement de la pompe étant de \(0.85\), quelle est la puissance fournie par le moteur entraînant la pompe ?

Indice

Point de fonctionnement :

\(q_v=46 Ls^{-1}\)

\(h=33\ m\)

Indice

\(P_{hydaulique}=\rho q_v E = \rho g h q_v = 13.1\ kW\)

Solution

\(P_{mecanique}=\frac{P_{hydraulique}}{\eta}=15.4\ kW\)

Question

5) Sachant que le \(NPSH_{requis}\) vaut \(6\ m\) et que la hauteur entre l'axe de la pompe et la surface libre du réservoir du pétrolier vaut \(3\ m\), déterminer si la pompe présente un risque de cavitation.

Indice

On suppose \(L_{ref}=145\ m\) et \(L_{asp}=5\ m\)

\(x_{3(1)}-x_{3(asp)}=-3\ m\)

\(NPSH_{requis}=6\ m\)

Indice

\(NPSH_{disponible} = \frac{P_{asp}}{\rho g}+\frac{\overline{V}_{asp}^2}{2g}-\frac{P_{sat}}{\rho g}\)

Indice

A \(25\ °C\), \(P_{sat} = 1.27\ 10^4 Pa\)

Indice

Bernoulli généralisé entre \(1\) et \(asp\)

\(\frac{P_{atm}}{\rho g}+x_{3(1)}+\cancel{\frac{\overline{V}_1^2}{2g}}=\frac{P_{asp}}{\rho g}+x_{3(asp)}+\frac{\overline{V}_{asp}^2}{2g}+\Delta H_{1\rightarrow asp}\)

d'où :

\(\frac{P_{asp}}{\rho g}+\frac{\overline{V}_{asp}^2}{2g}=\frac{P_{atm}}{\rho g}+x_{3(1)}-x_{3(asp)}-\Delta H_{1\rightarrow asp}\)

Indice

\(NPSH_{disponible}=\frac{P_{atm}-P_{sat}}{\rho g}+x_{3(1)}-x_{3(asp)}-f\frac{L_{asp}}{D}\frac{\overline{V}^2}{2g}\)

avec \(\overline{V}=\frac{q_v}{S}=2.6\ ms^{-1}\)

\(Re=7.8\ 10^4\Rightarrow f=0.0237\)

Solution

\(NPSH_{disponible}=7.02\ m>6\ m=NPSH_{requis}\Rightarrow\) pas de cavitation

Question

6) En supposant que la hauteur entre l'axe de la pompe et la surface libre du réservoir du pétrolier est maintenue à \(3\ m\), déterminer la longueur maximale que peut avoir la conduite à l'aspiration sans que la pompe ne cavite.

Indice

Pour \(x_{3(1)}-x_{3(asp)}=-3\ m\)

\(L_{asp}^{MAX}\) pour \(NPSH_{disponible}^{MIN}=NPSH_{requis}=6\ m\)

Solution

\(\Rightarrow L_{asp}^{MAX}=\frac Df \frac{2g}{\overline{V}^2}\left[\frac{P_{atm}-P_{sat}}{\rho g}+x_{3(1)}-x_{3(asp)}-NPSH_{requis}\right]=2.5\ m\)

Question

7) En supposant que la longueur de conduite à l'aspiration est maintenue à une valeur de \(5\ m\), déterminer la hauteur maximale par rapport à la surface libre du réservoir du pétrolier à laquelle la pompe peut être placée sans caviter.

Indice

Pour \(L_{asp} = 5\ m\),

\(h^{MAX}=x_{3(asp)}^{MAX}-x_{3(1)}=\frac{P{atm}-P_{sat}}{\rho g}-f\frac{L_{asp}}{D}\frac{\overline{V}^2}{2g}-NPSH_{requis}\)

Solution

\(h^{MAX}=4.05\ m\)

Exercice 2 :

La pompe \(BC\) fournit de l'eau au réservoir \(F\).

On a représenté la ligne piézométrique sur la figure ci dessous.

td 5 exercice 2

Sachant que le coefficient de perte de charge linéaire \(f\) garde la valeur constante de \(0.02\), calculer :

Question

1) la puissance fournie à l'eau par la pompe BC,

Indice

Calcul de \(E\)

\(H_B+\frac Eg=H_C\)

\(\frac Eg = H_C-H_B=\frac{P^*_C-P^*_B}{\rho g}=144-29=85\ m\)

\(E=850\ Jkg^{-1}\)

Indice

Calcul de Q :

régime permanent, \(q_v=\overline{V}S\)

\(H_C=H_D+\Delta H\)

\(\frac{P^*_C}{\rho g}=\frac{P^*_D}{\rho g}+f\frac LD\frac{\overline{V}^2}{2g}\)

\(\Rightarrow \overline{V} = \sqrt{\left(\frac{P^*_C-P^*_D}{\rho g}\right)\frac{2gD}{fL}}=3\ ms^{-1}\)

Indice

\(q_v=0.85\ m^3s^{-1}\)

Solution

d'où \(P=\rho q_v E=722.5 \ kW\)

Question

2) la puissance consommée par la turbine \(DE\)

Indice

\(P'=\rho q_vE'\)

\(H_D-\frac{E'}{g}=H_E\)

Indice

\(E'=g(H_D-H_E)=g\left(\frac{P^*_D-P^*_E}{\rho g}\right)\)

Solution

\(E' = 60\ Jkg^{-1}\)

\(P'=51\ kW\)

Question

3) La hauteur piézométrique du réservoir F.

Indice

Soit F à la surface libre du réservoir :

\(H_E=H_F+\Delta H_{E\rightarrow F}\)

Solution

\(\frac{P^*_F}{\rho g}=\frac{P^*_E}{\rho g}-f\frac LD\frac{\overline{V}^2}{2g}=99-9=90\ m\)