TD 1 exercice 1

Exercice 1

Soit un tuyau cylindrique creux, de rayons extrêmes \(R_1\) et \(R_2\) (\(R_1\) rayon interne et \(R_2\) rayon externe), suffisamment long pour envisager un transfert radial de la chaleur. La conductivité thermique du matériau le constituant dépend de la température suivant la loi linéaire avec \(k_0\) et a des constantes. Des conditions aux limites de Dirichlet sont appliquées (températures respectivement désignées par \(T_{P1}\) pour le rayon interne et \(T_{P2}\) pour le rayon externe).

Question

1. Déterminer l'équation algébrique qui définit implicitement l'évolution de la température en fonction du rayon.

Indice

Equation de la chaleur

\(-div\left(k(T)\overrightarrow{grad} T\right)+\rho (T) C(T) \frac{\partial T}{\partial t}-\dot{q}=0\)

Régime permanent et \(\dot{q}=0\)

\(-div\left(k(T)\overrightarrow{grad} T\right)=0\)

rappel coordonnée cylindrique ?

Indice

\(div\vec A = \frac 1 r \frac{\partial}{\partial r}\left( rA_r\right)+\frac 1 r \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\)

Indice

Problème monodimensionnel \(T(r)\)

\(\overrightarrow{grad}T = \left( \begin{array}{c}\frac{d T}{d r} \\ 0\\ 0\\\end{array}\right )\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ div \overrightarrow{A} = \left( \begin{array}{c}\frac 1 r \frac{d }{d r}\left( rA_r\right)\\ 0\\ 0\\\end{array}\right ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ si\ \ \overrightarrow{A} = \left( \begin{array}{c}A_r\\ 0\\ 0\\\end{array}\right )\)

Indice

\(div\left[k\overrightarrow{grad} T\right]=\frac 1 r \frac{d}{dr}\left[ rk(T)\frac{dT}{dr}\right]=\frac 1 r \frac{d}{dr}\left[ rk_0(1+aT)\frac{dT}{dr} \right]=0\)

donc \(\frac{d}{d r}\left[rk_0(1+aT)\frac{dT}{dr} \right]=0\)

Indice

soit \(rk_0(1+aT)\frac{dT}{dr}=B=cst\)

\(k_0(1+aT)dT=B\frac{dr}{r}\)

Indice

En intégrant

\(k_0\left(T(r)+\frac a 2 T^2(r)\right)=B\ \ln(r)+C\)

ou encore

\(T^2(r)+\frac 2 a T(r)=D\ln(r) +E\)

Solution

CL

\(T(r=R_1)=T_{P1}\Rightarrow T^2_{P1}+\frac 2 a T_{P1} = D \ln(R_1)+E\ \ \ \ \ \ \ (a)\)

\(T(r=R_2)=T_{P2}\Rightarrow T^2_{P2}+\frac 2 a T_{P2} = D \ln(R_2)+E\ \ \ \ \ \ \ (b)\)

\((a)-(b)\Rightarrow D=\frac{T^2_{P1}-T^2_{P2}+\frac 2 a \left(T_{P1}-T_{P2} \right)}{\ln\left( \frac{R_1}{R_2}\right)}=\frac{T_{P1}-T_{P2}}{\ln\left( \frac{R_1}{R_2}\right)}\left[ T_{P1}+T_{P2}+\frac 2 a \right]\)

et

\(E=T^2_{P1}+\frac 2 a T_{P1}-\frac{T_{P1}-T_{P2}}{\ln\left( \frac{R_1}{R_2}\right)}\left[ T_{P1}+T_{P2}+\frac 2 a \right]\ln (R_1)\)

Question

Exprimer le flux de chaleur se propageant radialement dans ce système.

Indice

On part d'une surface isotherme du cylindre \(\Sigma\) de rayon \(r\in\ ]R_1, R_2[\)

\(\Phi_\Sigma=-kS_\Sigma\overrightarrow{grad}T.\vec n=-kS_\Sigma \frac{dT}{dr}\)

\(\vec n = \vec e_r\) et \(S_\Sigma = 2 \pi r L\)

Indice

\(\Phi_\Sigma=-2\pi k_0 L(1+aT)r\frac{dT}{dr}\)

\(\Phi=\Phi_\Sigma \forall \Sigma\) car le flux est conservatif

\(\Phi \frac{dr}{r}=-2\pi k_0 L(1+aT)dT\)

Indice

\(\Phi\displaystyle \int^{r=R_2}_{r=R_1}\frac{dr}{r}=-2\pi k_0 L \int^{T_{P2}}_{T_{P1}}(1+aT)dT\)

\(\Phi=\frac{2\pi k_0 L}{\ln\left( \frac{R_2}{R_1}\right)} \left( T_{P1}-T_{P2}\right)\left[ 1+\frac a 2 \left( T_{P1}+T_{P2}\right)\right]\)

Solution

Si on pose \(k_m=k\left( T=\frac{T_{P1}+T_{P2}}{2}\right)=k_0\left[1+\frac a 2 \left( T_{P1}+T_{P2}\right)\right]\)

\(\displaystyle\Phi=\frac{T_{P1}-T_{P2}}{\frac{1}{2\pi k_m L}\ln\left( \frac{R_2}{R_1} \right)}\)

Expression correspondant à celle établie pour un tuyau dont la conductivité \(k\) est invariante (\(k_m\) venant se substituer à \(k\))

Si \(k\) varie linéairement avec \(T\), on peut utiliser ce résultat dans le cas du mur et de la sphère.