TD1 exercice 5
Une ailette en forme de cône (base circulaire de rayon \(R\)) est rattachée à une paroi mère imposant la température \(T_L\). La température ambiante du milieu entourant l'ailette est \(T_\infty\) et le coefficient d'échange convectif est désigné par \(h\).
Question
1. Déterminer, en appelant \(L\) la longueur de l'ailette et en supposant que la température est uniforme dans toute section repérée par \(x\), l'équation différentielle de la distribution des températures. On prendra l'origine \(0\) de l'axe \(Ox\) au sommet de l'épine conique.
Indice
\(\Phi(x)=\Phi(x+dx)+d\Phi_{lat}\)
\(-kS(x)\left( \frac{dT}{dx} \right)_x=-kS(x+dx)\left( \frac{dT}{dx}\right)_{x+dx}+hdA(x)\left(T(x)-T_\infty\right)\)
Indice
\(k\left[ \frac{d}{dx} \left( S(x)\frac{dT}{dx}\right)\right]dx =hdA(x)\left(T(x)-T_\infty\right)\)
Indice
\(\frac{d}{dx} \left( S(x)\frac{dT}{dx}\right) - \frac h k \frac{dA(x)}{dx}\left(T(x)-T_\infty\right)=0\)
Indice
\(\frac{d^2T}{dx^2}+\frac{1}{S(x)}\frac{dS(x)}{dx}\frac{dT}{dx}-\frac h k \frac{1}{S(x)}\frac{dA(x)}{dx}\left(T(x)-T_\infty\right)=0\)
Indice
Section en x :
\(S(x)=\pi r^2(x)\)
avec \(\frac{r(x)}{R}=\frac{x}{L}\) (a)
donc \(S(x)=\pi\left(\frac{R}{L}\right)^2x^2\)
\(\frac{dS(x)}{dx}=2\pi\left(\frac{R}{L}\right)^2x\)
Indice
Calcul de \(dA(x)\) : Aire latérale du cône d'épaisseur \(dx\)
\(dA(x)\approx 2\pi r(x)MM'\)
et \(cos(\alpha)=\frac{dx}{MM'}\)
de plus, \(cos(\alpha)=\frac{L}{\sqrt{R^2+L^2}}\) donc \(MM' =\frac{\sqrt{R^2+L^2}}{L}dx\)
Indice
\(\frac{dA(x)}{dx}=2\pi\frac R L \sqrt{1+\left(\frac{R}{L}\right)^2}x\)
Solution
En remplaçant \(S(x), \frac{dS(x)}{dx}\) et \(\frac{dA(x)}{dx}\) dans l'équation différentielle, on obtient :
\(\frac{d^2T}{dx^2}+\frac 2 x \frac{dT}{dx}-\frac{2h}{kx}\frac L R \sqrt{1+\left( \frac R L\right)^2}(T(x)-T_\infty)=0\)
ou :
\(x^2\frac{d^2T}{dx^2}+2 x \frac{dT}{dx}-\frac{2h}{k}\frac L R \sqrt{1+\left( \frac R L\right)^2}x(T(x)-T_\infty)=0\)
Question
2. Sachant que la solution générale de l'équation : \(x^2\frac{d^2\theta}{dx^2}+2x\frac{d\theta}{dx}-n^2x\theta=0\) où \(\theta\) est une fonction de \(x\), est \(\theta(x)=\frac{AI_1\left( 2n\sqrt x\right)+BK_1\left(2n\sqrt x\right)}{\sqrt x}\) avec \(I_1\) et \(K_1\) les fonctions de Bessel modifiées d'ordre 1, de 1ère et de 2ème espèce
et que \(\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{I_1\left( 2n\sqrt x\right)}{\sqrt x}=n\),
montrer que la température dans l'ailette est donnée par :
\(\frac{T(x)-T_\infty}{T_L-T_\infty}=\sqrt{\frac L x }\frac{I_1\left( 2n\sqrt x\right)}{I_1\left( 2n\sqrt L\right)}\)
Indice
avec \(\theta = T(x)-T_\infty\) et \(n^2=\frac{2h}{k}\sqrt{\left( \frac L R \right)^2+1}\)
on est bon !
Indice
CL :
en \(x=L\ \ \ \ \ \ \\ T(x=L)=T_L\Rightarrow \theta(L)=T_L-T_\infty\)
en \(x=0\) doit être définie donc \(\theta(x=0)\) aussi.
Indice
quand \(x\rightarrow 0\) \(\ \ \ \ \ \ \theta(x)\rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow 0}\left( \frac{AI_1(2n\sqrt x)+BK_1(2n\sqrt x}{\sqrt x}\right)\)
Or \(\lim\limits_{x \rightarrow 0}K_1(u)=+\infty\) car \(K_1(u)\rightarrow \frac 1 u\)
donc obligatoirement pour que \(\theta(x=0)\) soir définie, il faut que \(B=0\).
Indice
Donc \(\theta(x)=\frac{AI_1(2n\sqrt x)}{\sqrt x}\)
On sait que \(\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{I_1(2n\sqrt x)}{\sqrt x}=n\) donc \(\theta\) est définie en \(x=0\)
Indice
2nd CL :
\(\theta(x=L)=T_L-T_\infty=A\frac{I_1(2n\sqrt L)}{\sqrt L}\)
\(\Rightarrow A= \frac{T_L-T_\infty}{I_1(2n\sqrt L)}\sqrt L\)
Solution
donc :
\(\theta(x)=T(x)-T_\infty=(T_L-T_\infty)\sqrt{\frac L x} \frac{I_1(2n\sqrt x)}{I_1(2n\sqrt L)}\)
Question
3. En déduire la déperdition totale de l'ailette
Indice
Le plus simple est de calculer le flux conductif transmis à travers la base de raccordement \(\Phi(x=L)\)
\(\Phi=-kS_b\vec n \overrightarrow{grad}T\) avec \(\vec n\) opposé à \(\overrightarrow{grad}T\)
\(\Phi=kS_b \left(\frac{dT}{dx}\right)_{x=L}=k\pi R^2 \left(\frac{dT}{dx}\right)_{x=L}\)
avec
\(T(x)=T_\infty+(T_L-T_\infty)\sqrt{\frac L x} \frac{I_1(2n\sqrt x)}{I_1(2n\sqrt L)}\)
Indice
On va se servir de la règle de dérivation suivante :
\(\frac{d}{du}(I_n(u))=I_{n-1}(u)-\frac n u I_n(u)\) ou \(n\) est l'ordre de la fonction de Bessel.
\(\frac{dT}{dx}=\frac{T_L-T_\infty}{I_1(2n\sqrt l)}\sqrt L \frac{d}{dx}\left[ x^{-1/2}I_1(2n\sqrt x)\right]\)
\(= K_{cst}\left( -\frac 1 2 x^{-3/2}I_1(2n\sqrt x)+x^{-1/2}\frac{d}{dx}\left[I_1(2n\sqrt x)\right]\right)\)
Indice
\(\frac{d}{dx}\left[I_1(2n\sqrt x)\right]=\frac{d}{dx}\left[I_1(u)\right]\frac{du}{dx}\) en posant \(u=2n\sqrt x\Rightarrow \frac{du}{dx}=\frac{n}{\sqrt x}\)
Indice
\(\frac{d}{dx}\left[I_1(2n\sqrt x)\right]=\left(I_0(u)-\frac 1 u I_1(u)\right)\frac{n}{\sqrt x}\)
\(=\frac{n}{\sqrt x}\left( I_0(2n\sqrt x)-\frac{1}{2n\sqrt x}I_1(2n\sqrt x)\right)\)
Indice
\(\frac{dT}{dx}=K_{cst}\left( -\frac 1 2 x^{-3/2}I_1(2n\sqrt x)+\frac n x \left(I_0(2n\sqrt x) -\frac{1}{2n\sqrt x}I_1(2n\sqrt x)\right)\right)\)
\(=K_{cst}\left( \frac{-1}{x \sqrt x} I_1(2n\sqrt x)+ \frac n x I_0(2n\sqrt x ) \right)\)
Solution
\(\Phi=k\pi R^2(T_L-T_\infty)\left( \frac{n}{\sqrt L}\frac{I_0(2n\sqrt L)}{I_1(2n\sqrt L}-\frac 1 L\right)\)
Remarque :
Le calcul de ce flux par l'autre méthode qui consiste à considérer les déperditions de l'ailette au niveau de sa surface (échange convectif) est beaucoup plus compliqué car il faut intégrer les fonctions de Bessel.
Question
4. Calculer cette déperdition et la température en \(x=0\) (sommet de l'épine conique) pour les conditions suivantes : \(k = 167 W\ m^{-1} K^{-1}, h = 121 W\ m^{-2}\ K^{-1}, L = 6\ cm, R = 1.5\ cm, T_L = 120\ °C, T_\infty = 20\ °C\).
Indice
\(n^2=\frac{2h}{k}\sqrt{\left(\frac{L}{R}\right)^2+1}=5.9748\Rightarrow n=2.444\)
\(2n\sqrt L=1.197\)
Indice
Sur les tables de Bessel :\( I_0(1.197)=1.3916\) et \(I_1(1.197)=0.7124\)
\(\Phi_{evacue}=33.3\ W\)
Indice
Température au sommet \(x=0\)
\(T(x=0)=T_\infty+(T_L-T_\infty)\frac{\sqrt L}{I_1(2n\sqrt L)}\lim\limits_{x \rightarrow 0}\left[ \frac{I_1(2n\sqrt x)}{\sqrt x}\right]\)
\(T(x=0)=T_\infty+(T_L-T_\infty)\frac{n\sqrt L}{I_1(2n\sqrt L)}\)
Solution
\(T(x=0)=104\ °C\)
Métal (composition de l'ailette) de bonne conductivité donc écart de température réduit entre \(T_L\) et \(T(x=0)\).